在我(wo)国，对空间图形的研究起源(yuan)很早。由于建筑城墙，开(kai)掘沟渠等工程需要计算(suan)体积，所以在《九章算(suan)术》中的“商功章”以及魏晋时期(qi)著名数学家刘徽所著的《九(jiu)章算术注》中介绍了当时(shi)的算法。今天，就让(rang)我们走进历史的长河(he)，来看看中国古代数(shu)学史中的体积计算。
刘(liu)徽曾在《九章算术注》中多(duo)次运用堑（qiàn）堵、阳马、鳖臑（nào）等几何体来验证并推导立体体(ti)积的算法。那么什(shi)么是堑堵、阳马和鳖臑(er)呢？实际上，这些几(ji)何体我们并不陌生。
刘徽首先从几(ji)何形状的角度解释(shi)“堑堵”（底为直角三角形的直三棱(leng)柱）：
邪解立(li)方得两堑堵；虽复随方，亦为堑堵(du)，故二而一。
这句话说(shuo)明把正方体或长(chang)方体过一组相对面(mian)的对角线平分得到两个(ge)（体积）一样的堑堵。
刘徽又提到：
推其物体，盖(gai)为堑上叠也。
这说明作为实物的堑堵可能是(shi)叠在沟堑上面的一种设施，也许这就(jiu)是“堑堵”之名的由来。
阳马为何物？刘(liu)徽在术文下注云：
阳马之形，方锥一(yi)隅也。
意思(si)是阳马的形状，就是方(fang)锥（正四棱锥）的一个角，并且他又补充说：
今谓四柱屋隅(yu)为阳马。
这便是从实际生活(huo)中的情况来说明阳马作为实物指(zhi)的是什么。
鳖臑则指的是各个(ge)面都为直角三角形的四面体。刘徽在(zai)做注时，侧重于解释鳖臑(er)的字面含义：
“
臑者，臂骨也。或曰半阳马，其(qi)形有似鳖肘，故以名云。
刘(liu)徽还通过立体的分(fen)解和组合来阐述堑堵、阳马、鳖臑这三者的关系：
“
邪(xie)解立方得两堑堵(du)，邪解堑堵，其一为阳马，一(yi)为鳖臑，阳马居二，鳖臑居(ju)一，不易之率也(ye)。
这指的是把一个立方（正(zheng)方体或是长方体）斜向(xiang)分解成两个堑堵，再(zai)把堑堵斜向分解得到一(yi)个阳马和一个鳖臑，两(liang)者的体积比总是2：1（不易(yi)之率）。
实际上，在(zai)《九章算术》原著中“商功章”给出(chu)了“阳马”的体积公式：三条直角边乘(cheng)积的三分之一。这与刘(liu)徽后来提出的“不易之率”（阳马与鳖臑(er)的体积比为）的说法是等(deng)价的。但是《九章算术》原著中并没有给出证明。刘徽则尝试(shi)运用极限的方法对其进行解释，并将其记录在了《九章算(suan)术注》中。
2 不(bu)易之率刘徽欲证明阳马(ma)体积Y和鳖臑体积B之比(bi)为2:1，又由于堑(qian)堵的体积是长方体的一半，由此(ci)即可推出阳马体积公式为
其中a,b,c分别为长方体的三边之长。
刘徽(hui)认为，命题Y:B=2:1应对任意长方体都成立，这个(ge)比率称为“不易之率”，意即对所有长方体都保持不变的比(bi)率.刘徽用一种极(ji)限的过程对他的命题给出了一般(ban)的证明。
如图，取阳马各棱的中点(dian)并联结，可将阳马分割为(wei)1个小长方体、2个（一样的）小堑(qian)堵、2个（一样的）小阳马。
同样地，可将(jiang)鳖臑分割为2个（一样的）小鳖臑和2个（一样的）小堑堵(du)。
容易得(de)到，阳马中除去2个小阳马的部分(fen)的体积（记为100）为鳖臑中除去2个小鳖臑的部(bu)分的体积（记为）的2倍，即
com
而它们合在一起（刘徽称其为(wei)“已知”部分）的(de)体积应占原堑堵体积的。
因此，剩余部分（即2个小阳马加2个小鳖(bie)臑，刘徽称其为“未知”部分）的体积(ji)应占原堑堵的体积的。
若分别用记每个(ge)小阳马和小鳖臑的体积，则有
其中，与的比(bi)是未知的。但实际上，我们可以(yi)如法炮制，继续对每个小阳(yang)马和小鳖臑进行同样的分割(ge)，就有
由(you)此，对第次分割，其中在“已(yi)知”部分中总有，至于“未知”部分(fen)的体积，刘徽指出，随着分割得越来越(yue)细，它将无限趋近于(yu)0。刘徽对这一过程的描述是：
半之弥(mi)少，其余弥细，至细曰微，微(wei)则无形，由是言之，安取余哉(zai)？
将这一(yi)过程无限进行下去，在极限的(de)情况下就得到了“不易之率”：Y:B=2:1。
3 刘徽的无限思想(xiang)刘徽(hui)的极限方法在今天看来也十分精彩，在(zai)刘徽的观念中，分割(ge)到最后的结果得到一个“至细”，“无形”的东西，这(zhe)一点可以从他的思(si)想渊源上得到解释。
实际上，刘徽受墨家的思想(xiang)影响很深。墨家(jia)曾提出“非半弗斫”命题：
非半(ban)弗斫，则不动，说在端。
这是认为对于给定(ding)长度的木棍，做连续取半的分割(ge)操作，到了不能再取半(ban)时，就不能用刀砍了，这(zhe)时就会出现不动的“端”，这里的“端(duan)”指的就是没有大(da)小，量度为零的东西。
其次，从道家思想看(kan)，刘徽这里用的“微”和“无形”两个概念，在刘徽所处的时代之前就已有密切的(de)联系。《庄子·秋水》中云：
河伯曰:世之议者皆曰(yue):“至精无形……” 北海若曰：“……夫精，小之微也；夫精(jing)粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可(ke)围者，数所不能穷也”。
这里，“微”和“无形”通过概(gai)念“精”联系起来，体现了道家强(qiang)调精微细小到极点就“无形”的极限(xian)思想。
刘徽运用同样(yang)的思想方法提出了著名的“割圆术”，通过不(bu)断倍增圆内接正多边形的边数来接近(jin)圆，从而计算圆(yuan)周率:
割之弥(mi)细，所失弥少，割之(zhi)又割，以至于不可割，则与圆周合(he)体而无所失矣.
刘徽大胆地直接用无限过(guo)程来处理数学问题，这与中国古代数学注重实际讲求直(zhi)观的传统相一致。从中国(guo)古代哲学思想的渊(yuan)源来看，刘徽在无限过程的运(yun)用上和墨、道两(liang)家也是一脉相承的。
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来源：大小吴(wu)的数学课堂
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